Gaußsches Gesetz | Erklärung, Formel und Anwendung (2024)

Gauß’sches Gesetz

30-Sekunden-Zusammenfassung

Das Gauß’sche Gesetz besagt, dass der gesamte elektrische Fluss durch eine hypothetische geschlossene Oberfläche 1/ε0 mal der gesamten elektrischen Ladung innerhalb dieser geschlossenen Oberfläche entspricht.

Oberfläche S1

Das elektrische Feld ist an allen Punkten dieser Oberfläche nach außen gerichtet. Daher ist der Fluss des elektrischen Feldes durch diese Oberfläche positiv, ebenso wie die Nettoladung innerhalb der Oberfläche, wie es das Gauß’sche Gesetz verlangt.

Oberfläche S2

Diese Oberfläche umschließt keine Nettoladung, da die eingeschlossenen positiven und negativen Ladungen gleiche Größen haben. Das Gauß’sche Gesetz fordert, dass der Nettostrom des elektrischen Feldes durch diese Oberfläche null ist.

Oberfläche S3

Diese Oberfläche umschließt keine Ladung, daher ist qeingeschlossen = 0. Das Gauß’sche Gesetz fordert, dass der Nettostrom des elektrischen Feldes durch diese Oberfläche null ist. Das ist vernünftig, da alle Feldlinien vollständig durch die Oberfläche gehen, sie rechts betreten und links verlassen.

Über das Gauß’sche Gesetz

Im Elektromagnetismus stellt das Gauß’sche Gesetz, auch bekannt als Gauß’scher Flusssatz, die Beziehung zwischen der Verteilung elektrischer Ladungen und dem resultierenden elektrischen Feld dar. In seiner integralen Form verknüpft das Gauß’sche Gesetz die von einer geschlossenen Oberfläche eingeschlossene Ladung mit dem Gesamtfluss durch diese Oberfläche. Wenn das elektrische Feld aufgrund seiner Symmetrie überall auf dieser Oberfläche konstant und senkrecht dazu ist, kann das genaue elektrische Feld gefunden werden.
Das Gauß’sche Gesetz und das Coulomb’sche Gesetz sind verschiedene Wege, um die Beziehung zwischen Ladung und elektrischem Feld in statischen Situationen zu beschreiben. In solchen speziellen Fällen ist das Gauß’sche Gesetz einfacher anzuwenden als das Coulomb’sche Gesetz.

Das Gauß’sche Gesetz beinhaltet das Konzept des elektrischen Flusses, ein Maß dafür, wie stark die elektrischen Feldvektoren durch eine gegebene Oberfläche dringen. Es ist eine nützliche Methode zur Bestimmung von elektrischen Feldern, wenn die Ladungsverteilung hochsymmetrisch ist. Es wurde von Carl Friedrich Gauß, einem deutschen Mathematiker und Physiker, entwickelt. Wie das Ampère’sche Gesetz, das analog zum Magnetismus ist, ist das Gauß’sche Gesetz eines der vier Maxwell-Gleichungen (die erste) und damit grundlegend für die klassische Elektrodynamik.

Was ist elektrischer Fluss?

Das Gauß’sche Gesetz beinhaltet das Konzept des elektrischen Flusses, der sich auf das elektrische Feld bezieht, das durch eine gegebene Fläche geht. In Worten: Das Gauß’sche Gesetz besagt, dass der gesamte elektrische Fluss durch eine hypothetische geschlossene Oberfläche gleich 1/ε0 mal der gesamten elektrischen Ladung innerhalb dieser geschlossenen Oberfläche ist.
ΦE = Q/ε0

In bildlicher Form wird dieses elektrische Feld als Punkt, die Ladung, dargestellt, von der „Flusslinien“ ausstrahlen. Diese werden als Gauß-Linien bezeichnet. Beachten Sie, dass Feldlinien eine grafische Darstellung der Feldstärke und -richtung sind und keine physische Bedeutung haben. Die Dichte dieser Linien entspricht der elektrischen Feldstärke, die auch als elektrische Flussdichte bezeichnet werden könnte: die Anzahl der „Linien“ pro Flächeneinheit.

Der elektrische Fluss ist proportional zur Gesamtzahl der elektrischen Feldlinien, die durch eine Oberfläche gehen. Er hängt von der Stärke des elektrischen Feldes E, der Oberfläche und der relativen Orientierung des Feldes und der Oberfläche ab.

Für ein gleichförmiges elektrisches Feld E, das durch eine Fläche A geht, wird der elektrische Fluss Φ wie folgt definiert:

Φ = E x A

Dies gilt für die Fläche senkrecht zum Vektor E. Wir verallgemeinern unsere Definition des elektrischen Flusses für ein gleichförmiges elektrisches Feld zu:

Φ = E x A x cosφ (elektrischer Fluss für gleichförmiges E, flache Oberfläche)

Was geschieht, wenn das elektrische Feld nicht gleichförmig ist?

Für ein nicht gleichförmiges elektrisches Feld wird der elektrische Fluss dΦE durch eine kleine Oberfläche dA wie folgt gegeben:
E = E x dA

Wir berechnen den elektrischen Fluss durch jedes Element und integrieren die Ergebnisse, um den Gesamtfluss zu erhalten. Der elektrische Fluss ΦE wird dann als Flächenintegral des elektrischen Feldes definiert:

Gauß’sches Gesetz – Integralform

In seiner Integralform verknüpft das Gauß’sche Gesetz die von einer geschlossenen Oberfläche eingeschlossene Ladung mit dem Gesamtfluss durch diese Oberfläche. Die genaue Beziehung zwischen dem elektrischen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche und der Nettoladung Qeingeschlossen, die innerhalb dieser Oberfläche eingeschlossen ist, wird durch das Gauß’sche Gesetz gegeben:
ε0 ist dabei dieselbe Konstante (Permittivität des freien Raums), die auch im Coulomb’schen Gesetz vorkommt. Das Integral auf der linken Seite ist über den Wert von E auf jeder geschlossenen Oberfläche, und wir wählen diese Oberfläche nach unserer Bequemlichkeit in jeder gegebenen Situation. Die Ladung Qeingeschlossen ist die Nettoladung, die von dieser Oberfläche eingeschlossen wird. Es spielt keine Rolle, wo oder wie die Ladung innerhalb der Oberfläche verteilt ist. Jede Ladung außerhalb dieser Oberfläche muss nicht einbezogen werden. Eine Ladung außerhalb der gewählten Oberfläche kann die Position der elektrischen Feldlinien beeinflussen, wird jedoch nicht die Nettomenge der Linien, die in die Oberfläche eintreten oder sie verlassen, beeinflussen.

Gaußsches Gesetz | Erklärung, Formel und Anwendung (1)

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FAQs

Gaußsches Gesetz | Erklärung, Formel und Anwendung? ›

Gaußsches Gesetz für Magnetfelder erklärt

Welchen Zusammenhang gibt der Satz von Gauß wieder? ›

Der Satz von Gauß verknüpft das Integral über eine geschlossene Fläche mit dem Volumsintegral der Divergenz, er wird vor allem dazu verwendet, um bestimmte Oberflächenintegrale auszurechnen. Mit dem Satz von Stokes kann man Integrale über geschlossene Kurven mittels Oberflächenintegralen bestimmen (und umgekehrt).

Wann gilt der Satz von Gauß? ›

Insbesondere gilt: Die ganze Sphäre außerhalb einer Kugel hat keinen (zusätzlichen) Einfluss, sofern ihre Masse radialsymmetrisch verteilt ist. Allein die Summe der Quellen und Senken im Innengebiet wirken.

Was gibt die elektrische Feldstärke an? ›

Die elektrische Feldstärke \(\vec E\) ist das Maß für die Stärke und die Richtung eines elektrischen Feldes, also die Fähigkeit einer Ladung, Kraft auf andere Ladungen auszuüben.

Was besagt das Gaußsche Gesetz? ›

Das Gaußsche Gesetz ist ein fundamentales Prinzip der Elektrodynamik, das erklärt, wie elektrische Ladungen ein elektrisches Feld erzeugen. Es besagt, dass der elektrische Fluss durch jede geschlossene Oberfläche proportional zur Summe der eingeschlossenen elektrischen Ladung ist.

Wie lautet die Gaußsche Summenformel? ›

Allgemeiner formuliert ist die Gaußsche Summenformel gegeben durch die Formel: S = n ( n + 1 ) 2 , wobei die Summe, und die Anzahl der zu addierenden Zahlen ist.

Wo ist das elektrische Feld am stärksten? ›

Spitzeneffekt. Ist ein metallischer Körper mit einer bestimmten Ladung aufgeladen, so ist das elektrische Feld in seiner Umgebung dort am stärksten, wo der Körper kleine Krümmungsradien aufweist.

Wie rechnet man die Feldstärke aus? ›

Sie gibt dir also an, wie stark das elektrische Feld einer Ladung q ist und in welche Richtung es wirkt. Die Definition der elektrischen Feldstärke E ist der Quotient der elektrischen Kraft F und der Ladung q2 der Probeladung (E=F/q2).

Wo ist die Feldstärke am größten? ›

Wie auf Abbildung 1 zu sehen, stehen die Feldlinien senkrecht auf einer elektrisch geladenen leitenden Oberfläche. Je dichter die Feldlinien beieinander liegen, desto größer die Stärke des elektrischen Feldes. In der Nähe einer konvex gekrümmten Oberfläche ist die Feldstärke also am größten.

Was besagt der Gaußsche Integralsatz? ›

Der gaußsche Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski oder Divergenzsatz, ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche her.

Was gibt die Gaußkurve an? ›

Gaußsche Normalverteilung – Definition. Die Normalverteilung wird manchmal auch als Gauß-Verteilung oder Glockenkurve bezeichnet. Sie ist eine der wichtigsten Verteilungen in der Statistik. Die Normalverteilung wird verwendet, um Häufigkeiten von Daten und Beobachtungen darzustellen.

Welche historischen Erkenntnisse hat Gauß für die Mathematik geleistet? ›

Auf Gauß gehen die nichteuklidische Geometrie, zahlreiche mathematische Funktionen, Integralsätze, die Normalverteilung, erste Lösungen für elliptische Integrale und die gaußsche Krümmung zurück.

Was besagt der Satz von Stokes? ›

Hinter dem Stokes'schen Satz steckt ein allgemeines topologisches Prinzip, das in seiner einfachsten Form besagt, dass sich bei „orientierter Pflasterung eines Flächenstücks“ im Innern die Wege „wegen Gegenverkehrs“ paarweise aufheben, sodass nur die Randkurve übrig bleibt.

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