Gaußsches Gesetz | Erklärung, Formel und Anwendung (2024)

Gauß’sches Gesetz

30-Sekunden-Zusammenfassung

Das Gauß’sche Gesetz besagt, dass der gesamte elektrische Fluss durch eine hypothetische geschlossene Oberfläche 1/ε₀ mal der gesamten elektrischen Ladung innerhalb dieser geschlossenen Oberfläche entspricht.

Oberfläche S1

Das elektrische Feld ist an allen Punkten dieser Oberfläche nach außen gerichtet. Daher ist der Fluss des elektrischen Feldes durch diese Oberfläche positiv, ebenso wie die Nettoladung innerhalb der Oberfläche, wie es das Gauß’sche Gesetz verlangt.

Oberfläche S2

Diese Oberfläche umschließt keine Nettoladung, da die eingeschlossenen positiven und negativen Ladungen gleiche Größen haben. Das Gauß’sche Gesetz fordert, dass der Nettostrom des elektrischen Feldes durch diese Oberfläche null ist.

Oberfläche S3

Diese Oberfläche umschließt keine Ladung, daher ist q_{eingeschlossen} = 0. Das Gauß’sche Gesetz fordert, dass der Nettostrom des elektrischen Feldes durch diese Oberfläche null ist. Das ist vernünftig, da alle Feldlinien vollständig durch die Oberfläche gehen, sie rechts betreten und links verlassen.

Über das Gauß’sche Gesetz

Im Elektromagnetismus stellt das Gauß’sche Gesetz, auch bekannt als Gauß’scher Flusssatz, die Beziehung zwischen der Verteilung elektrischer Ladungen und dem resultierenden elektrischen Feld dar. In seiner integralen Form verknüpft das Gauß’sche Gesetz die von einer geschlossenen Oberfläche eingeschlossene Ladung mit dem Gesamtfluss durch diese Oberfläche. Wenn das elektrische Feld aufgrund seiner Symmetrie überall auf dieser Oberfläche konstant und senkrecht dazu ist, kann das genaue elektrische Feld gefunden werden.
Das Gauß’sche Gesetz und das Coulomb’sche Gesetz sind verschiedene Wege, um die Beziehung zwischen Ladung und elektrischem Feld in statischen Situationen zu beschreiben. In solchen speziellen Fällen ist das Gauß’sche Gesetz einfacher anzuwenden als das Coulomb’sche Gesetz.

Das Gauß’sche Gesetz beinhaltet das Konzept des elektrischen Flusses, ein Maß dafür, wie stark die elektrischen Feldvektoren durch eine gegebene Oberfläche dringen. Es ist eine nützliche Methode zur Bestimmung von elektrischen Feldern, wenn die Ladungsverteilung hochsymmetrisch ist. Es wurde von Carl Friedrich Gauß, einem deutschen Mathematiker und Physiker, entwickelt. Wie das Ampère’sche Gesetz, das analog zum Magnetismus ist, ist das Gauß’sche Gesetz eines der vier Maxwell-Gleichungen (die erste) und damit grundlegend für die klassische Elektrodynamik.

Was ist elektrischer Fluss?

Das Gauß’sche Gesetz beinhaltet das Konzept des elektrischen Flusses, der sich auf das elektrische Feld bezieht, das durch eine gegebene Fläche geht. In Worten: Das Gauß’sche Gesetz besagt, dass der gesamte elektrische Fluss durch eine hypothetische geschlossene Oberfläche gleich 1/ε₀ mal der gesamten elektrischen Ladung innerhalb dieser geschlossenen Oberfläche ist.
Φ_E = Q/ε₀

In bildlicher Form wird dieses elektrische Feld als Punkt, die Ladung, dargestellt, von der „Flusslinien“ ausstrahlen. Diese werden als Gauß-Linien bezeichnet. Beachten Sie, dass Feldlinien eine grafische Darstellung der Feldstärke und -richtung sind und keine physische Bedeutung haben. Die Dichte dieser Linien entspricht der elektrischen Feldstärke, die auch als elektrische Flussdichte bezeichnet werden könnte: die Anzahl der „Linien“ pro Flächeneinheit.

Der elektrische Fluss ist proportional zur Gesamtzahl der elektrischen Feldlinien, die durch eine Oberfläche gehen. Er hängt von der Stärke des elektrischen Feldes E, der Oberfläche und der relativen Orientierung des Feldes und der Oberfläche ab.

Für ein gleichförmiges elektrisches Feld E, das durch eine Fläche A geht, wird der elektrische Fluss Φ wie folgt definiert:

Φ = E x A

Dies gilt für die Fläche senkrecht zum Vektor E. Wir verallgemeinern unsere Definition des elektrischen Flusses für ein gleichförmiges elektrisches Feld zu:

Φ = E x A x cosφ (elektrischer Fluss für gleichförmiges E, flache Oberfläche)

Was geschieht, wenn das elektrische Feld nicht gleichförmig ist?

Für ein nicht gleichförmiges elektrisches Feld wird der elektrische Fluss dΦ_E durch eine kleine Oberfläche dA wie folgt gegeben:
dΦ_E = E x dA

Wir berechnen den elektrischen Fluss durch jedes Element und integrieren die Ergebnisse, um den Gesamtfluss zu erhalten. Der elektrische Fluss Φ_E wird dann als Flächenintegral des elektrischen Feldes definiert:

Gauß’sches Gesetz – Integralform

In seiner Integralform verknüpft das Gauß’sche Gesetz die von einer geschlossenen Oberfläche eingeschlossene Ladung mit dem Gesamtfluss durch diese Oberfläche. Die genaue Beziehung zwischen dem elektrischen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche und der Nettoladung Q_{eingeschlossen}, die innerhalb dieser Oberfläche eingeschlossen ist, wird durch das Gauß’sche Gesetz gegeben:
ε₀ ist dabei dieselbe Konstante (Permittivität des freien Raums), die auch im Coulomb’schen Gesetz vorkommt. Das Integral auf der linken Seite ist über den Wert von E auf jeder geschlossenen Oberfläche, und wir wählen diese Oberfläche nach unserer Bequemlichkeit in jeder gegebenen Situation. Die Ladung Q_{eingeschlossen} ist die Nettoladung, die von dieser Oberfläche eingeschlossen wird. Es spielt keine Rolle, wo oder wie die Ladung innerhalb der Oberfläche verteilt ist. Jede Ladung außerhalb dieser Oberfläche muss nicht einbezogen werden. Eine Ladung außerhalb der gewählten Oberfläche kann die Position der elektrischen Feldlinien beeinflussen, wird jedoch nicht die Nettomenge der Linien, die in die Oberfläche eintreten oder sie verlassen, beeinflussen.